Что больше?

[dimview]

Что больше, log₂3 или log₃5? Разумеется, без калькулятора.

Сравнивать их лучше не друг с другом, а с 3/2.

Для начала сравним log₂3 и 3/2. Функция f(x)=2^x монотонно возрастает, поэтому мы можем её применить к обоим сторонам неравенства и получить

2^log₂3 <> 2^3/2

Функция f(x)=x² тоже монотонно возрастает. Применив её к обоим сторонам, получаем

3² <> 2³

9 > 8

поэтому

log₂3 > 3/2

Теперь сравниваем 3/2 и log₃5. Функция f(x)=3^x монотонно возрастает, применив её к обоим сторонам получаем

3^3/2 <> 3^log₃5

Функция f(x)=x² тоже монотонно возрастает, применив её к обоим сторонам, получаем

3³ <> 5²

27 > 25

поэтому

3/2 > log₃5

Ну и наконец,

log₂3 > 3/2 > log₃5

Источник: гроб №17 со вступительного экзамена в МГУ (прямая ссылка на PDF)