Кратчайший путь

[dimview]

Точка D находится внутри произвольного треугольника ABC. Докажите, что |AB|+|BC|>|AD|+|DC|.

Збигнев Михалевич и Давид Фогель нашли эту задачу в американском учебнике геометрии для пятого класса и показывали её разным людям, в том числе студентам институтов, аспирантам и даже профессорам математики. Меньше 5% этих людей справились с задачей в течении часа.



Продолжим линию AD до пересечения со стороной BC, назовём точку пересечения E. Из неравенства треугольника для △ABE, |AB|+|BE|>|AE|=|AD|+|DE|. Из неравенства треугольника для △DEC, |DE|+|EC|>|DC|. Сложим оба неравенства и получим |AB|+|BE|+|DE|+|EC|>|AD|+|DE|+|DC|. Вычтем |DE| из обоих сторон и заменим |BE|+|EC| на |BC|, получим |AB|+|BC|>|AD|+|DC| ∎

Источник: Futility Closet

Comments

[12_natali]

из А проводим радиус через Д до АБ, очевидно, что АД меньше АБ, аналогично из С до ВС. и т.д.

Не получится

[dimview]

Это так не во всех треугольниках. Представьте себе тупоугольный треугольник, у которого вершина B близка к стороне AC, а точка D находится рядом с вершиной C.

[12_natali]

ладно, берем площадь АБС и АДС, 1-й больше, сторона АС - общая. значит и сумма сторон больше.
причем, чем ниже расположена точка Д, тем ближе площадь к минимуму, а сумма строн к = АС. т.е. функция.

Удивлённо

[dimview]

А почему если площадь больше, то и периметр больше? Например, сравните площадь и периметр прямоугольного треугольника с катетами 2 и 3 и прямоугольного треугольника с катетами 1 и 4.

Re: Удивлённо

[12_natali]

я думаю, потому, что есть формула вычисления площади - по размерам сторон, вычисляем наоборот по площади - размеры (одна известна)....
в вашем примере нет общей стороны.

ошибаюсь? давненько математикой не занималась:)

Пока не знаю

[dimview]

Есть формула Херона, по ней площадь треугольника со сторонами a, b, c равна sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p=(a+b+c)/2. Если мы знаем одну общую сторону b и площадь, то из этого можно получить много разных комбинаций a и c.

Мне пока непонятно, как из этого следует то, что мы хотим доказать.

Re: Пока не знаю

[12_natali]

но ведь комбинации А и С будут заведомо больше комбинаций сторон меньшего треугольника, раз площадь больше?

ну и с учетом функции, о кот. я говорила.
и еще расчет сторон по косинусам углов....

выводить формулы....о, нет, увольте:)