Где ждать лифта

[dimview]

Вы ждёте лифта в вестибюле. Лифтов четыре штуки, они расположены в одну линию на равном расстоянии друг от друга. Третий слева лифт не работает. Где будете стоять и почему?

Многие предпочитают стоять в средней координате, думая, что при этом минимизируется среднее расстояние, которое придётся пройти до первого пришедшего лифта. Если двери работающих лифтов находятся в точках с координатам 1, 2 и 4, то средняя координата будет (1+2+4)/3=2⅓, слегка справа от второго лифта.

На самом деле при таком подходе минимизируется средний квадрат расстояния, а чтобы минимизировать среднее расстояние, стоять нужно в медиане, то есть прямо перед вторым лифтом.

В приведённом выше примере среднее расстояние от позиции 2⅓ равно (1⅓+⅓+1⅔)/3=(3⅓)/3, а среднее расстояние от позиции 2 (медианы) получается (1+0+2)/3=3/3. Чтобы понять, почему так происходит, можно представить себе, что мы немного смещаемся вправо от медианы. Сумма расстояний до работающих лифтов при этом возрастёт. Потом так же представить себе смещение в другую сторону, с тем же результатом.

Чтобы минимизировать максимальное расстояние, которое придётся пройти до лифта, стоять надо в середине диапазона, в данном случае в точке с координатой (1+4)/2=2½.

Источник: Hanley, J. A., and Lippman, A. (1999), "Where Do You Stand? Notions of the Statistical ‘Centre’", Teaching Statistics, 21, 49–51, прямая ссылка на PDF.