Вопрос с собеседования

[dimview]

Что больше, e^π или π^e? Без калькулятора.

Как обычно, одно из возможных решений — под катом.


Рассмотрим функцию f(x)=e^x/x^e и сравним её значение в точке x=π с единицей.

Понятно, что f(e)=1, но надо прикинуть, в какую сторону функция меняется при увеличении x.

Производная f′(x)=e^xx^-e−e^xex^-e-1=(x−e)e^xx^−e−1. Производная положительна при x>e, то есть функция возрастает. Поскольку π>e, f(π)>1 и e^π>π^e.

График в wxMaxima:

plot2d(%e^x/x^%e,[x,2.5,3.5],[ylabel,"f(x)"]);

Comments

[tarnyagin]

Встречный вопрос на собеседование: придумай физическую или геометрическую задачу, в ответе на которую фигурировало бы e^π или π^e?
Я не знаю ответа, если что :)

А как же

[dimview]

В тождестве Эйлера есть e^iπ, а e^π — это частный случай при i=1.

Re: А как же

[tarnyagin]

"...положим i равным единице...", -- Да, это сильно :)

[juan_gandhi]

Это прекрасно. Нормальный человек мог бы догадаться. А я всегда на пальцах прикидывал.

Завидую

[dimview]

У вас очень точные пальцы. e^π≈23.141, π^e≈22.459, разница примерно 3%.