Кратчайший путь

[dimview]

Точка D находится внутри произвольного треугольника ABC. Докажите, что |AB|+|BC|>|AD|+|DC|.

Збигнев Михалевич и Давид Фогель нашли эту задачу в американском учебнике геометрии для пятого класса и показывали её разным людям, в том числе студентам институтов, аспирантам и даже профессорам математики. Меньше 5% этих людей справились с задачей в течении часа.



Продолжим линию AD до пересечения со стороной BC, назовём точку пересечения E. Из неравенства треугольника для △ABE, |AB|+|BE|>|AE|=|AD|+|DE|. Из неравенства треугольника для △DEC, |DE|+|EC|>|DC|. Сложим оба неравенства и получим |AB|+|BE|+|DE|+|EC|>|AD|+|DE|+|DC|. Вычтем |DE| из обоих сторон и заменим |BE|+|EC| на |BC|, получим |AB|+|BC|>|AD|+|DC| ∎

Источник: Futility Closet

Comments

[12_natali]

из А проводим радиус через Д до АБ, очевидно, что АД меньше АБ, аналогично из С до ВС. и т.д.

[12_natali]

ладно, берем площадь АБС и АДС, 1-й больше, сторона АС - общая. значит и сумма сторон больше.
причем, чем ниже расположена точка Д, тем ближе площадь к минимуму, а сумма строн к = АС. т.е. функция.